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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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3. Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
a) $f(x)=\frac{1}{1-x}$ orden 5 $x_{0}=0$

Respuesta

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $5$ centrado en $x=0$ de la función $f(x)=\frac{1}{1-x}$

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:

$ p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)x^2}{2!} + \frac{f^{(3)}(0)x^3}{3!} + \frac{f^{(4)}(0)x^4}{4!} + \frac{f^{(5)}(0)x^5}{5!} $

Entonces vamos a arrancar buscando las derivadas que necesitamos de $f$ y evaluándolas en $x=0$ para completar las piezas que nos faltan:

$f(x)=\frac{1}{1-x}$
$f(0) = 1$

$ f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} $ $ f'(0) = 1 $ $ f''(x) = \frac{2}{(1-x)^3} $ $ f''(0) = 2 $ $ f^{(3)}(x) = \frac{6}{(1-x)^4} $ $ f^{(3)}(0) = 6 $ $ f^{(4)}(x) = \frac{24}{(1-x)^5} $ $ f^{(4)}(0) = 24 $ $ f^{(5)}(x) = \frac{120}{(1-x)^6} $ $ f^{(5)}(0) = 120 $

Perfecto, ahora reemplazamos en la estructura de nuestro polinomio:

$ p(x) = 1 + 1x + \frac{2x^2}{2!} + \frac{6x^3}{3!} + \frac{24x^4}{4!} + \frac{120x^5}{5!} $ Reacomodamos un poco:
$ p(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 $
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Avatar Micaela 2 de junio 22:50
Hola flor! no entiendo por qué en el denominador de f'' te da (1-x)^3
Si por la regla de la cadena es "el segundo^2" ¿Por propiedad de potencia no debería quedar (1-x)^4?
Avatar Flor Profesor 3 de junio 16:35
@Micaela Hola Mica! Claro, inicialmente te queda elevado a la cuarta, pero se te cancela con un $(1-x)$ que te queda en el numerador... Fijate que abajo puse esas derivadas escritas en la tablet con la regla del cociente hecha explícitamente, avisame si ahí lo ves mejor!
Avatar Rocío 2 de junio 18:13
no te deberían quedar algunas de las derivadas negativas?

Avatar Flor Profesor 2 de junio 20:52
@Rocío Hola Rocío! Mirá, acá te hice en la tablet las primeras dos derivadas, si las haces despacito vas a ver que todas quedan positivas:

2024-06-02%2020:51:33_3226396.png

No te olvides de multiplicar por el $-1$ por regla de la cadena (que sería la derivada de $1-x$)

Avisame si ahí lo pudiste verrr!
Avatar Rocío 3 de junio 16:36
claro es q yo lo había pensado como si fuera un exponente, tipo (1-x)^-1, y ahí me quedaron negativas algunas, no sé si es pq me equivoqué en algún paso🥲
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