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@Micaela Hola Mica! Claro, inicialmente te queda elevado a la cuarta, pero se te cancela con un $(1-x)$ que te queda en el numerador... Fijate que abajo puse esas derivadas escritas en la tablet con la regla del cociente hecha explícitamente, avisame si ahí lo ves mejor!
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@Rocío Hola Rocío! Mirá, acá te hice en la tablet las primeras dos derivadas, si las haces despacito vas a ver que todas quedan positivas:
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claro es q yo lo había pensado como si fuera un exponente, tipo (1-x)^-1, y ahí me quedaron negativas algunas, no sé si es pq me equivoqué en algún paso🥲
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
a) $f(x)=\frac{1}{1-x}$ orden 5 $x_{0}=0$
a) $f(x)=\frac{1}{1-x}$ orden 5 $x_{0}=0$
Respuesta
Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $5$ centrado en $x=0$ de la función $f(x)=\frac{1}{1-x}$
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Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:
$ p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)x^2}{2!} + \frac{f^{(3)}(0)x^3}{3!} + \frac{f^{(4)}(0)x^4}{4!} + \frac{f^{(5)}(0)x^5}{5!} $
Entonces vamos a arrancar buscando las derivadas que necesitamos de $f$ y evaluándolas en $x=0$ para completar las piezas que nos faltan:
$f(x)=\frac{1}{1-x}$
$f(0) = 1$
$ f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} $
$ f'(0) = 1 $
$ f''(x) = \frac{2}{(1-x)^3} $
$ f''(0) = 2 $
$ f^{(3)}(x) = \frac{6}{(1-x)^4} $
$ f^{(3)}(0) = 6 $
$ f^{(4)}(x) = \frac{24}{(1-x)^5} $
$ f^{(4)}(0) = 24 $
$ f^{(5)}(x) = \frac{120}{(1-x)^6} $
$ f^{(5)}(0) = 120 $
Perfecto, ahora reemplazamos en la estructura de nuestro polinomio:
$ p(x) = 1 + 1x + \frac{2x^2}{2!} + \frac{6x^3}{3!} + \frac{24x^4}{4!} + \frac{120x^5}{5!} $
Reacomodamos un poco:
$ p(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 $
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Micaela
2 de junio 22:50
Hola flor! no entiendo por qué en el denominador de f'' te da (1-x)^3
Si por la regla de la cadena es "el segundo^2" ¿Por propiedad de potencia no debería quedar (1-x)^4?
Flor
PROFE
3 de junio 16:35
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Flor
PROFE
2 de junio 20:52
No te olvides de multiplicar por el $-1$ por regla de la cadena (que sería la derivada de $1-x$)
Avisame si ahí lo pudiste verrr!
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Rocío
3 de junio 16:36
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